Теорема об элементарных преобразованиях слау. Равносильные системы. Элементарные преобразования системы линейных уравнений. Задачи для самостоятельного решения
Определение 1. Система линейных уравнений вида (1) , где , поле, называется системой m линейных уравнений с n неизвестными над полем , - коэффициенты при неизвестных, , , - свободные члены системы (1).
Определение 2. Упорядоченная n -ка (), где , называется решением системы линейных уравнений (1), если при замене переменной на каждое уравнение системы (1) превращается в верное числовое равенство.
Определение 3. совместной , если она имеет хотя бы одно решение. В противном случае система (1) называется несовместной .
Определение 4. Система линейных уравнений (1) называется определенной , если она имеет единственное решение. В противном случае система (1) называется неопределенной .
Система линейных уравнений
(есть решение) (нет решений)
совместная несовместная
(единственное решение) (не единственное решение)
определеннаянеопределенная
Определение 5. Система линейных уравнений над полем Р называется однородной , если все ее свободные члены равны нулю. В противном случае система называется неоднородной .
Рассмотрим систему линейных уравнений (1). Тогда однородная система вида называется однородной системой, ассоциированной с системой (1). Однородная СЛУ всегда совместна, так как всегда имеет решение .
Для каждой СЛУ можно ввести в рассмотрение две матрицы - основную и расширенную.
Определение 6. Основной матрицей системы линейных уравнений (1) называется матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных следующего вида: .
Определение 7. Расширенной матрицей системы линейных уравнений (1) называется матрица , полученная из матрицы путем присоединения к ней столбца свободных членов: .
Определение 8. Элементарными преобразованиями системы линейных уравнений называются следующие: 1) умножение обеих частей некоторого уравнения системы на скаляр ; 2) прибавление к обеим частям одного уравнения системы соответствующих частей другого уравнения, умноженных на элемент ; 3) добавление или отбрасывание уравнения вида .
Определение 9. Две системы линейных уравнений над полем Р относительно переменных называются равносильными , если их множества решений совпадают.
Теорема 1. Если одна система линейных уравнений получена из другой с помощью элементарных преобразований, то такие системы равносильны.
Удобно элементарные преобразования применять не к системе линейных уравнений, а к ее расширенной матрице.
Определение 10. Пусть дана матрица с элементами из поля Р. Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие:
1) умножение всех элементов какой-либо строки на матрицы на aÎ Р # ;
2) умножение всех элементов какой-либо строки на матрицы на aÎ Р # и сложение с соответствующими элементами другой строки;
3) перестановка местами любых двух строк матрицы;
4) добавление или вычёркивание нулевой строки.
8. Решение СЛУ: метод последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса).
Рассмотрим один из основных методов решения систем линейных уравнений, который называется методом последовательного исключения неизвестных , или иначе, методом Гаусса . Рассмотрим систему(1) m линейных уравнений с n неизвестными над полем Р: (1) .
В системе (1) хотя бы один из коэффициентов при не равен 0 . В противном случае (1) - система уравнений с () неизвестными - это противоречит условию. Поменяем местами уравнения так, чтобы коэффициент при в первом уравнении был не равен 0 . Таким образом, можно считать, что . Умножим обе части первого уравнения на и прибавим к соответствующим частям второго, третьего, …, m -го уравнений соответственно. Получим систему вида: , где s - наименьшее число, такое что хотя бы один из коэффициентов при не равен 0 . Поменяем местами уравнения так, чтобы во второй строке коэффициент при переменной был не равен 0 , т.е. можем считать, что . Тогда умножим обе части второго уравнения на и прибавим к соответствующим частям третьего, …, m -го уравнений соответственно. Продолжая этот процесс, получим систему вида:
Система линейных уравнений, которая, согласно теореме 1, равносильна системе (1). Система называется ступенчатой системой линейных уравнений. Возможны два случая: 1) Хотя бы один из элементов не равен 0 . Пусть, например, . Тогда в системе линейных уравнений есть уравнение вида , что невозможно. Это означает, что система не имеет решений, и поэтому система (1) не имеет решений (в этом случае (1) - несовместная система).
2) Пусть ,…, . Тогда с помощью элементарного преобразования З) получим систему - систему r линейных уравнений с n неизвестными. При этом переменные при коэффициентах называются главными переменными (это ), их всего r . Остальные (n-r ) переменных называют свободными.
Возможны два случая: 1) Если r=n , то - система треугольного вида. В этом случае из последнего уравнения находим переменную , из предпоследнего - переменную ,…, из первого уравнения - переменную . Таким образом, получаем единственное решение системы линейных уравнений , а значит, и системы линейных уравнений (1) (в этом случае система (1) определена).
2) Пусть r
При решении системы линейных уравнений методом Гаусса элементарные преобразования удобно производить не над системой, а над её расширенной матрицей.
Определение. Рангом матрицы А называется число ненулевых строк любой ступенчатой матрицы, к которой приводится А элементарными преобразованиями. Ранг матрицы А обозначается через r(A) или rang(A).
Алгоритм решения системы линейных уравнений методом Гаусса
1. Составить расширенную матрицу системы линейных уравнений (1) и с помощью элементарных преобразований привести к ступенчатому виду.
2. Провести исследование: а) если , то система (1) несовместна;
б) если , то система (1) совместна.
При этом если r=n
, то система (1) определена, если r
3. Найти решение системы, соответствующей полученной ступенчатой матрице.
К элементарным преобразованиям матрицы относятся:
1. Изменение порядка строк (столбцов).
2. Отбрасывание нулевых строк (столбцов).
3. Умножение элементов любой строки (столбца) на одно число.
4. Прибавление к элементам любой строки (столбца) элементов другой строки (столбца), умноженных на одно число.
Системы линейных алгебраических уравнений слу (Основные понятия и определения).
1. Системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система уравнений вида:
2. Решением системы уравнений (1) называется совокупность чисел x 1 , x 2 , … , x n , обращающая каждое уравнение системы в тождество.
3. Система уравнений (1) называется совместной , если она имеет хотя бы одно решение; если система не имеет решений, она называется несовместной .
4. Система уравнений (1) называется определенной , если она имеет только одно решение, и неопределенной , если у нее более одного решения.
5. В результате элементарных преобразований система (1) преобразуется к равносильной ей системе (т.е. имеющей то же множество решений).
К элементарным преобразованиям систем линейных уравнений относятся:
1. Отбрасывание нулевых строк.
2. Изменение порядка строк.
3. Прибавление к элементам любой строки элементов другой строки, умноженных на одно число.
Методы решения систем линейных уравнений.
1) Метод обратной матрицы (матричный метод) решения систем n линейных уравнений с n неизвестными.
Системой n линейных уравнений с n неизвестными называется система уравнений вида:
Запишем систему (2) в матричном виде, для этого введем обозначения.
Матрица коэффициентов перед переменными:
X = ‒ матрица переменных.
В = ‒ матрица свободных членов.
Тогда система (2) примет вид:
A ×X = B ‒ матричное уравнение.
Решив уравнение, получим:
X = A -1 ×B
Пример:
;
;
1) │А│= 15 + 8 ‒18 ‒9 ‒12 + 20 = 4 0 матрицаА -1 существует.
3)
Ã
=
4)
А -1
=
× Ã =
;
Х
= А -1
×
B
Ответ:
2) Правило Крамера решения систем n – линейных уравнений с n – неизвестными.
Рассмотрим систему 2 ‒ х линейных уравнений с 2 ‒ мя неизвестными:
Решим эту систему методом подстановки:
Из первого уравнения следует:
Подставив во второе уравнение, получим:
Подставляем значение в формулу для, получим:
Определитель Δ - определитель матрицы системы;
Δ x 1 - определитель переменной x 1 ;
Δ x 2 - определитель переменной x 2 ;
Формулы:
x 1 =;x 2 =;…,x n = ;Δ 0;
‒ называются формулами Крамера.
При нахождении определителей неизвестных х 1 , х 2 ,…, х n заменяется столбец коэффициентов при той переменной, определитель которой находят, на столбец свободных членов.
Пример: Решить систему уравнений методом Крамера
Решение:
Составим и вычислим сначала главный определитель этой системы:
Так как Δ ≠ 0, то система имеет единственное решение, которое можно найти по правилу Крамера:
где Δ 1 , Δ 2 , Δ 3 получаются из определителя Δ путем замены 1‒ го, 2 ‒ го или 3 ‒ го столбца, соответственно, на столбец свободных членов.
Таким образом:
Метод Гаусса решения систем линейных уравнений.
Рассмотрим систему:
Расширенной матрицей системы (1) называется матрица вида:
Метод Гаусса – это метод последовательного исключения неизвестных из уравнений системы, начиная со второго уравнения по m – тое уравнение.
При этом путем элементарных преобразований матрица системы приводится к треугольной (если m = n и определитель системы ≠ 0) или ступенчатой (если m < n ) форме.
Затем, начиная с последнего по номеру уравнения, находятся все неизвестные.
Алгоритм метода Гаусса:
1) Составить расширенную матрицу системы, включающую столбец свободных членов.
2) Если а 11 0, то первую строку делим на а 11 и умножаем на (– a 21) и прибавляем вторую строку. Аналогично дойти до m –той строки:
I стр. делим на а 11 и умножаем на (– а m 1) и прибавляем m – тую стр.
При этом из уравнений, начиная со второго по m – тое, исключится переменная x 1 .
3) На 3 ‒ м шаге вторая строка используется для аналогичных элементарных преобразований строк с 3 ‒ й по m – тую. При этом исключится переменная x 2 , начиная с 3 ‒ й строки по m – тую, и т. д.
В результате этих преобразований система приведется к треугольной или ступенчатой форме (в случае треугольной формы под главной диагональю нули).
Приведение системы к треугольной или ступенчатой форме называется прямым ходом метода Гаусса , а нахождение неизвестных из полученной системы называется обратным ходом .
Пример:
Прямой ход. Приведём расширенную матрицу системы
с помощью элементарных преобразований к ступенчатому виду. Переставим первую и вторую строки матрицыA b , получим матрицу:
Сложим вторую строку полученной матрицы с первой, умноженной на (‒2), а её третью строку – с первой строкой, умноженной на (‒7). Получим матрицу
К третьей строке полученной матрицы прибавим вторую строку, умноженную на (‒3), в результате чего получим ступенчатую матрицу
Таким образом, мы привели данную систему уравнений к ступенчатому виду:
,
Обратный ход. Начиная с последнего уравнения полученной ступенчатой системы уравнений, последовательно найдём значения неизвестных:
Две системы линейных уравнений от одного набора x 1 ,..., x n неизвестных и соответственно из m и p уравнений
Называются эквивалентными, если их множества решений и совпадают (т. е. подмножества и в K n совпадают, ). Это означает, что: либо они одновременно являются пустыми подмножествами (т. е. обе системы (I) и (II) несовместны), либо они одновременно непустые , и (т. е. каждое решение системы I является решением системы II и каждое решение системы II является решением системы I).
Пример 3.2.1 .
Метод Гаусса
План алгоритма, предложенного Гауссом, был весьма прост:
- применять к системе линейных уравнений последовательно преобразования, не меняющие множество решений (таким образом мы сохраняем множество решений исходной системы), и перейти к эквивалентной системе, имеющей "простой вид" (так называемую ступенчатую форму);
- для "простого вида" системы (со ступенчатой матрицей) описать множество решений, которое совпадает с множеством решений исходной системы.
Отметим, что близкий метод "фан-чен" был известен уже в древнекитайской математике.
Элементарные преобразования систем линейных уравнений (строк матриц)
Определение 3.4.1 (элементарное преобразование 1-го типа) . При к i -му уравнению системы прибавляется k -е уравнение, умноженное на число (обозначение: (i)"=(i)+c(k) ; т. е. лишь одно i -е уравнение (i) заменяется на новое уравнение (i)"=(i)+c(k) ). Новое i -е уравнение имеет вид (a i1 +ca k1)x 1 +...+(a in +ca kn)x n =b i +cb k , или, кратко,
Т. е. в новом i -м уравнении a ij "=a ij +ca kj , b i "=b i +cb k .
Определение 3.4.2 (элементарное преобразование 2-го типа) . При i -е и k -е уравнение меняются местами, остальные уравнения не изменяются (обозначение: (i)"=(k) , (k)"=(i) ; для коэффициентов это означает следующее: для j=1,...,n
Замечание 3.4.3
. Для удобства в конкретных вычислениях можно применять элементарное преобразование 3-го типа: i
-е уравнение умножается на ненулевое число 
, (i)"=c(i)
.
Предложение 3.4.4 . Если от системы I мы перешли к системе II при помощи конечного числа элементарных преобразований 1-го и 2-го типа, то от системы II можно вернуться к системе I также элементарными преобразованиями 1-го и 2-го типа.
Доказательство.
Замечание 3.4.5
. Утверждение верно и с включением в число элементарных преобразований элементарного преобразования 3-го типа. Если и (i)"=c(i)
, то 
и (i)=c -1 (i)"
.
Теорема 3.4.6 .После последовательного применения конечного числа элементарных преобразований 1-го или 2-го типа к системе линейных уравнений получается система линейных уравнений, эквивалентная первоначальной.
Доказательство. Заметим, что достаточно рассмотреть случай перехода от системы I к системе II при помощи одного элементарного преобразования и доказать для множеств решений включение (поскольку в силу доказанного предложения от системы II можно вернуться к системе I и поэтому будем иметь включение , т. е. будет доказано равенство ).
Пусть – система векторов m из . Основными элементарными преобразованиями системы векторов являются
1. - добавление к одному из векторов (вектору ) линейной комбинации остальных.
2. - умножение одного из векторов (вектора ) на число не равное нулю.
3. перестановка двух векторов () местами. Системы векторов , будем называть эквивалентными (обозначение ), если существует цепочка элементарных преобразований переводящая первую систему во вторую.
Отметим свойства введенного понятия эквивалентности векторов
(рефлексивность)
Из следует, что (симметричность)
Если и , то (транзитивность) Теорема. Если система векторов линейно независима, а ей эквивалентна, то система – линейно независима. Доказательство. Очевидно, что теорему достаточно доказать для системы полученной из с помощью одного элементарного преобразования.. Предположим что система векторов линейно независима. Тогда из вытекает, что . Пусть система получена из с помощью одного элементарного преобразования. Очевидно, что перестановка векторов или умножение одного из векторов на число не равное нулю не меняет линейной независимости системы векторов. Допустим теперь, что система векторов получена из системы прибавлением к вектору линейной комбинации остальных, . Нужно установить, что (1) вытекает что Поскольку , то из (1) получаем . (2)
Т.к. система – линейно независима, то из (2) следует, что для всех .
Отсюда получаем . Что и требовалось доказать.
57. Матрицы. сложение матриц умножение матрицы на скляр матрицы как векторное пространство его размерность.
Вид матрицы: квадратная
Сложение матриц
Свойства сложения матриц:
1.коммутативность: A+B = B+A;
Умножение матрицы на число
Умножение матрицы А на число ¥ (обозначение: ¥A) заключается в построении матрицы B, элементы которой получены путём умножения каждого элемента матрицы A на это число, то есть каждый элемент матрицы B равен: Bij=¥Aij
Свойства умножения матриц на число:
2. (λβ)A = λ(βA)
3. (λ+β)A = λA + βA
4. λ(A+B) = λA + λB
Вектор-строка и вектор-столбец
Матрицы размера m x 1 и 1 x n являются элементами пространств K^n и K^m соответственно:
матрица размера m x1 называется вектор-столбцом и имеет специальное обозначение:
Матрица размера 1 x n называется вектор-строкой и имеет специальное обозначение:
58. Матрицы. Сложение умножение матриц. Матрицы как кольцо, свойства кольца матриц .
Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из m одинаковой длины строк или n одинаковой длины стробцов.
aij- элемент матрицы, который находится в i-ой строке и j-м столбце.
Вид матрицы: квадратная
Квадратная матрица - это матрица с равным числом столбцов и строк.
Сложение матриц
Сложение матриц А+В есть операция нахождения матрицы С, все элементы которой равны попарной сумме всех соответствующих элементов матриц А и В, то есть каждый элемент матрицы равен Сij=Aij + Bij
Свойства сложения матриц:
1.коммутативность: A+B = B+A;
2.ассоциативность: (A+B)+C =A+(B+C);
3.сложение с нулевой матрицей: A + Θ = A;
4.существование противоположной матрицы: A + (-A) = Θ;
Все свойства линейных операций повторяют аксиомы линейного пространства и поэтому справедлива теорема:
Множество всех матриц одинаковых размеров mxn с элементами из поля P (поля всех действительных или комплексных чисел) образует линейное пространство над полем P (каждая такая матрица является вектором этого пространства).
Умножение матриц
Умножение матриц (обозначение: АВ, реже со знаком умножения А х В) - есть операция вычисления матрицы С, каждый элемент которой равен сумме произведений элементов в соответствующей строке первого множителя и столбце второго.
Количество столбцов в матрице А должно совпадать с количеством строк в матрице В, иными словами, матрица А обязана быть согласованной с матрицей В. Если матрица А имеет размерность m x n , B - n x k , то размерность их произведения AB=C есть m x k .
Свойства умножения матриц:
1.ассоциативность (AB)C = A(BC);
2.некоммутативность (в общем случае): AB BA;
3.произведение коммутативно в случае умножения с единичной матрицей: AI = IA;
4.дистрибутивность: (A+B)C = AC + BC, A(B+C) = AB + AC;
5.ассоциативность и коммутативность относительно умножения на число: (λA)B = λ(AB) = A(λB);
59.*Обратимые матрицы. Особенные и неособенные элементарные преобразования строк матрицы. Элементарные матрицы. Умножение на элементарные матрицы.
Обратная матрица - такая матрица A −1 , при умножении на которую, исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E :
Элементарными преобразованиями строк называют:
Аналогично определяются элементарные преобразования столбцов .
Элементарные преобразования обратимы .
Обозначение указывает на то, что матрица может быть получена из путём элементарных преобразований (или наоборот).